Samedi 22 décembre 2007
Dans le dernier article 10 sur la bijection j'ai un peu simplifié les choses. Par souci de rigueur je me dois de rectifier une partie du raisonnement.
Associer à un point du carré, un point du segment ]0 ; 1[, par le procédé indiqué : rien à dire.
Mais la réciproque pose problème.
Considérons x = 0,010101010101.... (période 01). C'est un rationnel.
On va lui associer le point du carré A(0,000000...; 0,11111111...) qui a la mauvaise idée de ne pas être dans le carré ouvert mais sur un bord (axe des ordonnées).
Même chose pour x = 0,101010101010.... à qui on associe un point de l'axe des abscisses.
Et 0,9090909090909.....?
On lui associe B(0,99999999999999...;0,0000000000000000000...)
si a = 0,9999999999... alors 10a = 9,99999999999999...
10a - a = 9 9a = 9 et a = 1
B est donc le point (1 ; 0) et n'est donc pas dans le carré ouvert !
Bref ma petite phrase préférée : à chaque point m de ]0 ; 1[ , son point M du carré ]0;1[ * ]0;1[ est fausse...
Mais pas de panique Cantor a pensé à tout. Pour vous expliquer comment il lève la difficulté je vais être amené à vous parler de la notion d'injection.
Ce sera pour une autre fois...
Associer à un point du carré, un point du segment ]0 ; 1[, par le procédé indiqué : rien à dire.
Mais la réciproque pose problème.
Considérons x = 0,010101010101.... (période 01). C'est un rationnel.
On va lui associer le point du carré A(0,000000...; 0,11111111...) qui a la mauvaise idée de ne pas être dans le carré ouvert mais sur un bord (axe des ordonnées).
Même chose pour x = 0,101010101010.... à qui on associe un point de l'axe des abscisses.
Et 0,9090909090909.....?
On lui associe B(0,99999999999999...;0,0000000000000000000...)
si a = 0,9999999999... alors 10a = 9,99999999999999...
10a - a = 9 9a = 9 et a = 1
B est donc le point (1 ; 0) et n'est donc pas dans le carré ouvert !
Bref ma petite phrase préférée : à chaque point m de ]0 ; 1[ , son point M du carré ]0;1[ * ]0;1[ est fausse...
Mais pas de panique Cantor a pensé à tout. Pour vous expliquer comment il lève la difficulté je vais être amené à vous parler de la notion d'injection.
Ce sera pour une autre fois...
