Samedi 1 mars 2008
L'objet de l'article est de vous expliquer ce qu'est l'orthocentre d'un triangle et de vous
justifier ce nom.
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Mercredi 20 février 2008
Pour cuire un oeuf à la coque, vous disposez de 2 sabliers : l'un de 6 minutes, l'autre de 7 minutes.
Comment vous y prendre pour décompter exactement les 3 minutes nécessaires à votre cuisson préférée ?
Dans le même style : une cuisson de 15 minutes avec deux sabliers de 11 minutes et de 7 minutes.
Le problème précédent :
Alors, on a bien séché ?
Décomposons 36 en produit de 3 entiers consécutifs (rangés par ordre croissant pour ne pas se répéter) et indiquons en face la somme des 3 facteurs.
36 = 1 * 1 * 36 1 + 1 + 36 = 38
= 1 * 2 * 18 1 + 2 + 18 = 21
= 1 * 3 *12 1 + 3 + 12 = 16
= 1 * 4* 9 1 + 4 + 9 = 14
= 1 * 6 * 6 1 + 6 + 6 = 13
= 2 * 2 * 9 2 + 2 + 9 = 13
= 2 * 3 * 6 2 + 3 + 6 = 11
= 3 * 3 *4 3 + 3 + 4 = 10
Imaginons que la conversation ait lieu en face du 16 de la rue : sans hésitation on peut en déduire que les 3 filles ont 1, 3 et 12 ans.
Si à la connaissance de la somme ( on regarde le numéro de la maison d' en face) on ne peut pas conclure , c'est que ce numéro est le 13 (le seul pour lequel il y a 2 possibilités : 1, 6 , 6 ou 2 ; 2 ; 9).
Mais le premier mathématicien nous apprend qu'il y a une fille ainée, donc la solution 1,6,6 est à éliminer.
Finalement les 3 filles ont 2,2 et 9 ans.
(il y avait bien 2 jumelles...)
Comment vous y prendre pour décompter exactement les 3 minutes nécessaires à votre cuisson préférée ?
Dans le même style : une cuisson de 15 minutes avec deux sabliers de 11 minutes et de 7 minutes.
Le problème précédent :
Alors, on a bien séché ?
Décomposons 36 en produit de 3 entiers consécutifs (rangés par ordre croissant pour ne pas se répéter) et indiquons en face la somme des 3 facteurs.
36 = 1 * 1 * 36 1 + 1 + 36 = 38
= 1 * 2 * 18 1 + 2 + 18 = 21
= 1 * 3 *12 1 + 3 + 12 = 16
= 1 * 4* 9 1 + 4 + 9 = 14
= 1 * 6 * 6 1 + 6 + 6 = 13
= 2 * 2 * 9 2 + 2 + 9 = 13
= 2 * 3 * 6 2 + 3 + 6 = 11
= 3 * 3 *4 3 + 3 + 4 = 10
Imaginons que la conversation ait lieu en face du 16 de la rue : sans hésitation on peut en déduire que les 3 filles ont 1, 3 et 12 ans.
Si à la connaissance de la somme ( on regarde le numéro de la maison d' en face) on ne peut pas conclure , c'est que ce numéro est le 13 (le seul pour lequel il y a 2 possibilités : 1, 6 , 6 ou 2 ; 2 ; 9).
Mais le premier mathématicien nous apprend qu'il y a une fille ainée, donc la solution 1,6,6 est à éliminer.
Finalement les 3 filles ont 2,2 et 9 ans.
(il y avait bien 2 jumelles...)
Dimanche 17 février 2008
Jeudi 14 février 2008
Soit n un entier naturel supérieure ou égal à 2.
Je vais vous démontrer par récurrence que n points distincts d'un plan sont toujours alignés.
étape 1 : On fonde à n = 2 (pas d'intéret pour n = 0 ou n = 1).
Soit A1 et A2 deux points du plan distincts. On sait bien qu'il existe une droite contenant ces deux points.
étape 2 : on vérifie l'hérédité.
On suppose que n points distincts d'un plan sont toujours alignés. Montrons qu'alors n+1 points distincts sont encore alignés.
Désignons A1, A2, A3, ...,An , An+1 ces n+1 points.
Considérons : A1, A2, A3 , ...An : il y a n points et d'aprés l'hypothèse de récurrence, ils sont alignés sur une droite que je nommerai (A2An) par exemple.
Considérons maintenant A2, A3, ..., An, An+1 : il y en a encore n et l'hypothèse de récurrence s'applique à nouveau et voilà ces n points alignés sur une droite que je peux encore appeler (A2An).
Mais alors les n+1 points sont bien sur la droite (A2An) et ils sont donc alignés !
Le principe de récurrence permet donc d'affirmer que n points d'un plan sont toujours alignés...
Il y a nécessairement un problème quelque part..
A vous de chercher.
Je vais vous démontrer par récurrence que n points distincts d'un plan sont toujours alignés.
étape 1 : On fonde à n = 2 (pas d'intéret pour n = 0 ou n = 1).
Soit A1 et A2 deux points du plan distincts. On sait bien qu'il existe une droite contenant ces deux points.
étape 2 : on vérifie l'hérédité.
On suppose que n points distincts d'un plan sont toujours alignés. Montrons qu'alors n+1 points distincts sont encore alignés.
Désignons A1, A2, A3, ...,An , An+1 ces n+1 points.
Considérons : A1, A2, A3 , ...An : il y a n points et d'aprés l'hypothèse de récurrence, ils sont alignés sur une droite que je nommerai (A2An) par exemple.
Considérons maintenant A2, A3, ..., An, An+1 : il y en a encore n et l'hypothèse de récurrence s'applique à nouveau et voilà ces n points alignés sur une droite que je peux encore appeler (A2An).
Mais alors les n+1 points sont bien sur la droite (A2An) et ils sont donc alignés !
Le principe de récurrence permet donc d'affirmer que n points d'un plan sont toujours alignés...
Il y a nécessairement un problème quelque part..
A vous de chercher.
par ANDRE
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se distraire avec les maths
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Mercredi 13 février 2008
Un mathématicien rencontre un autre mathématicien, voici le dialogue :
"Le produit des âges de mes trois filles est 36. Leur somme est le numéro de cette maison."
"Cela ne me suffit pas"
" L'aînée aime le chocolat"
" Alors je connais les âges de vos filles."
Et vous ?
Solution du problème de la semaine passée:
Appelons x le nombre d'oeufs d'une des fermières et p le prix à l'unité de ses oeufs.
Appelons y le nombre d'oeufs de l'autre fermière et q le prix à l'unité de ses oeufs.
Les recettes étant les mêmes : x p = y q
100 oeufs en tout donc : x + y = 100
D'après le dialogue : y p = 15 et x q = 6 + 2/3 = 20/3.
(4 inconnues, 4 équations, ça va le faire !)
J'exprime y, p, q en fonction de x.
y = 100 - x p = 15/y = 15/(100-x) q = 20/3x
Je remplace dans l'équation qui n'a pas encore servi :
x p = y q et : 15x/(100-x) = 20(100-x)/3x
J'égalise les produits en croix : 45 x² = 20 (100-x)²
On développe, simplifie et on tombe sur l'équation de degré 2 : x² + 160 x - 8000 = 0
Discriminant : 576000 = 240² X1 = 40 X2 = -200 pas de sens ici.
Une des fermières a donc vendu 40 oeufs et l'autre 60.
La solution de Vincent me semble plus élégante. Bravo !
"Le produit des âges de mes trois filles est 36. Leur somme est le numéro de cette maison."
"Cela ne me suffit pas"
" L'aînée aime le chocolat"
" Alors je connais les âges de vos filles."
Et vous ?
Solution du problème de la semaine passée:
Appelons x le nombre d'oeufs d'une des fermières et p le prix à l'unité de ses oeufs.
Appelons y le nombre d'oeufs de l'autre fermière et q le prix à l'unité de ses oeufs.
Les recettes étant les mêmes : x p = y q
100 oeufs en tout donc : x + y = 100
D'après le dialogue : y p = 15 et x q = 6 + 2/3 = 20/3.
(4 inconnues, 4 équations, ça va le faire !)
J'exprime y, p, q en fonction de x.
y = 100 - x p = 15/y = 15/(100-x) q = 20/3x
Je remplace dans l'équation qui n'a pas encore servi :
x p = y q et : 15x/(100-x) = 20(100-x)/3x
J'égalise les produits en croix : 45 x² = 20 (100-x)²
On développe, simplifie et on tombe sur l'équation de degré 2 : x² + 160 x - 8000 = 0
Discriminant : 576000 = 240² X1 = 40 X2 = -200 pas de sens ici.
Une des fermières a donc vendu 40 oeufs et l'autre 60.
La solution de Vincent me semble plus élégante. Bravo !
Mercredi 13 février 2008
Dans cet article je vais encore travailler avec des homothéties bien choisies pour démontrer que le cercle circonscrit à un triangle
contient quelques points remarquables.
Dans cet article et le précédent vous pouvez remarquer que l'orthocentre joue un rôle important. Mais au fait, pourquoi orthocentre ? De quoi est-il le centre ? Ce sera l'objet du prochain article.
Dans cet article et le précédent vous pouvez remarquer que l'orthocentre joue un rôle important. Mais au fait, pourquoi orthocentre ? De quoi est-il le centre ? Ce sera l'objet du prochain article.
Lundi 11 février 2008
CERCLE D’EULER ou CERCLE DES NEUF
POINTS
Dans cet article je vous propose de découvrir quelques propriétés remarquables du cercle circonscrit au triangle "médian" A'B'C'. J'ai choisi de travailler avec des homothéties. L'outil vectoriel est aussi possible mais donne des démonstrations plus longues. La lecture de l'article précédent sur la droite d'Euler est indispensable.
Ces articles font bien le lien avec le cours de spécialité mais sont aussi largement accessibles aux élèves non spécialistes. Il suffit de se souvenir de ce qu'est une homothétie et de quelques unes de ses propriétés.
Figure finale
Lundi 11 février 2008
Mercredi 6 février 2008
Savez vous que Stendhal s'est passionné pour les mathématiques dans sa jeunesse ? Il a même préparé le concours d'entrée à l'Ecole Polytechnique. Il relate dans ses
mémoires ses impressions pour cette discipline et quelques souvenirs de ses annés d'étude. En voici un extrait :
" Je trouvais chez lui (M Chabert, professeur de mathématiques) un bouquin d'Euler et son problème sur le nombre d'oeufs qu'une paysanne apportait au marché...Cela m'ouvrit l'esprit, j'entrevis ce que c'était que se servir de l'instrument appelé algèbre. Du diable si personne me l'avait jamais dit..."
Je vais me faire un plaisir de vous présenter ce problème extrait de l' "introduction à l'algèbre" d'Euler.
Deux paysannes ont apporté au marché ensemble 100 oeufs. L'une d'elles avait un plus grand nombre d'oeufs que l'autre, mais toutes les deux ont reçu la même somme.
La première a dit alors à la seconde : " si j'avais eu tes oeufs, j'aurais reçu 15 kreutzers".
L'autre a répondu : "Et si moi j'avais eu tes oeufs, j'aurais reçu 6 kreutzers et 2/3 ".
Combien d'oeufs avait chaque paysanne ?
Solution de la semaine passée :
Soit n le nombre de participants : chaque participant serre la main à (n-1) participants.
Dans un premier temps nous comptons n(n-1) poignées de main. Mais chaque poignée de main a été comptée dex fois : A serre la main à B et B serre la main à A.
Il nous faut donc diviser n(n-1) par 2 et résoudre l'équation du second degré :
n(n-1)/2 = 66
ou encore : n² - n - 132 = 0.
Le discriminant est 23² et n = 12 ou n = -11 ce qui n'a pas de sens ici.
Il y avait donc 12 participants.
remarque : le nombre de poignées de main est égal au nombre de façons de choisir deux personnes dans un ensemble de n personnes ce que nous appellerons bientôt "2 parmi n" et il y a une formule pour le calculer, ce qui facilite la mise en équation.
" Je trouvais chez lui (M Chabert, professeur de mathématiques) un bouquin d'Euler et son problème sur le nombre d'oeufs qu'une paysanne apportait au marché...Cela m'ouvrit l'esprit, j'entrevis ce que c'était que se servir de l'instrument appelé algèbre. Du diable si personne me l'avait jamais dit..."
Je vais me faire un plaisir de vous présenter ce problème extrait de l' "introduction à l'algèbre" d'Euler.
Deux paysannes ont apporté au marché ensemble 100 oeufs. L'une d'elles avait un plus grand nombre d'oeufs que l'autre, mais toutes les deux ont reçu la même somme.
La première a dit alors à la seconde : " si j'avais eu tes oeufs, j'aurais reçu 15 kreutzers".
L'autre a répondu : "Et si moi j'avais eu tes oeufs, j'aurais reçu 6 kreutzers et 2/3 ".
Combien d'oeufs avait chaque paysanne ?
Solution de la semaine passée :
Soit n le nombre de participants : chaque participant serre la main à (n-1) participants.
Dans un premier temps nous comptons n(n-1) poignées de main. Mais chaque poignée de main a été comptée dex fois : A serre la main à B et B serre la main à A.
Il nous faut donc diviser n(n-1) par 2 et résoudre l'équation du second degré :
n(n-1)/2 = 66
ou encore : n² - n - 132 = 0.
Le discriminant est 23² et n = 12 ou n = -11 ce qui n'a pas de sens ici.
Il y avait donc 12 participants.
remarque : le nombre de poignées de main est égal au nombre de façons de choisir deux personnes dans un ensemble de n personnes ce que nous appellerons bientôt "2 parmi n" et il y a une formule pour le calculer, ce qui facilite la mise en équation.
Mercredi 6 février 2008
Une droite remarquable dans un triangle quelconque : la droite d'Euler.
