Lundi 28 avril 2008
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- : André Brest Iroise Lycée de l'Iroise Math science
- : Faire des mathématiques autrement. Blog de Alain ANDRE, Professeur de Mathématiques au Lycée de l'Iroise à Brest
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Samedi 26 avril 2008
Si pendant vos revisions vous avez rencontré certains problèmes, n'hésitez pas à me contacter. Je me ferai un plaisir de vous répondre...
Dimanche 6 avril 2008
Voici un exercice qui résume bien les techniques
utilisées dans l'étude d'une suite récurrente. C'est un petit problème donc pensez à réinvestir les résultats démontrés avant.
Le raisonnement par récurrence est bien présent. Je n'ai pas dit quand il faut l'utiliser, exprès...
Vous y trouverez aussi une suite arithméticogéométrique comme celles rencontrées en probabilité. A la fin du C), vous trouverez aussi une question classique comme rencontrée aussi en probabilité.
Le raisonnement par récurrence est bien présent. Je n'ai pas dit quand il faut l'utiliser, exprès...
Vous y trouverez aussi une suite arithméticogéométrique comme celles rencontrées en probabilité. A la fin du C), vous trouverez aussi une question classique comme rencontrée aussi en probabilité.
Mercredi 2 avril 2008
Dans ce royaume cruel, le monarque a décidé d'exécuter 2 des 3 prisonniers et de gracier le troisième.
Le gardien aussi cruel que son souverain se refuse de dire aux prisonniers lequel sera gracié.
Un des 3 prisonniers appelle le gardien :"si au lieu de te demander si je serai pendu ou pas, je te demande seulement lequel des deux autres prisonniers sera pendu, tu acceptes de me répondre ?"
"Tu sais déjà que l'un des deux autres sera pendu . Savoir lequel exactement ne t'apportera aucune information supplémentaire sur ton propre sort donc j'accepte"
Discrétement il lui désigne un des deux autres prisonniers.
"Merci beaucoup gardien, me voilà à présent un peu soulagé"
"Pourquoi donc ?" s'étonne le gardien.
" Tout à l'heure j'avais deux chances sur trois d'être pendu. Or à présent je n'ai plus qu'une chance sur deux : moi ou le prisonnier que tu n'as pas désigné."
Qu'en pensez vous ?
Le gardien aussi cruel que son souverain se refuse de dire aux prisonniers lequel sera gracié.
Un des 3 prisonniers appelle le gardien :"si au lieu de te demander si je serai pendu ou pas, je te demande seulement lequel des deux autres prisonniers sera pendu, tu acceptes de me répondre ?"
"Tu sais déjà que l'un des deux autres sera pendu . Savoir lequel exactement ne t'apportera aucune information supplémentaire sur ton propre sort donc j'accepte"
Discrétement il lui désigne un des deux autres prisonniers.
"Merci beaucoup gardien, me voilà à présent un peu soulagé"
"Pourquoi donc ?" s'étonne le gardien.
" Tout à l'heure j'avais deux chances sur trois d'être pendu. Or à présent je n'ai plus qu'une chance sur deux : moi ou le prisonnier que tu n'as pas désigné."
Qu'en pensez vous ?
par ANDRE
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se distraire avec les maths
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Mercredi 2 avril 2008
Trois amis ont acheté ensemble un ballon de foot pour 45 €.
Le premier a déboursé une somme inférieure ou égale à celle payée par ses deux amis ensemble.
Le deuxième a déboursé une somme inférieure ou égale à la moitié de celle payée par ses deux amis ensemble. Quant au troisième il a payé une somme inférieure ou égale au cinquième de celle payée par ses deux amis ensemble.
Combien chacun a-t-il payé ?
Problème de la semaine passée : un arbre de probabilité donne une probabilité de 1/8+1/4 = 3/8 sans difficulté.
Le premier a déboursé une somme inférieure ou égale à celle payée par ses deux amis ensemble.
Le deuxième a déboursé une somme inférieure ou égale à la moitié de celle payée par ses deux amis ensemble. Quant au troisième il a payé une somme inférieure ou égale au cinquième de celle payée par ses deux amis ensemble.
Combien chacun a-t-il payé ?
Problème de la semaine passée : un arbre de probabilité donne une probabilité de 1/8+1/4 = 3/8 sans difficulté.
Mercredi 26 mars 2008
Cet âne a un comportement têtu : s'il a accepté de sortir de son écurie la veille, il y a une chance sur deux pour qu'il accepte d'en sortir le lendemain; quand il
est resté obstinément la veille dans son écurie, il sort sans histoire le lendemain.
Il est sorti le premier jour.
Calculer la probabilité qu'il passe le quatrième jour dans son écurie.
Problème de la semaine passée.
Ne semble pas avoir eu beaucoup de succès...
Notons G l'évènement : le nouveau né est un garçon.
Notons F l'évènement : le nouveau né est une fille.
Notons g l'évènement : le docteur a annoncé la naissance d'un garçon.
Notons f l'évènement : le docteur a annoncé la naissance d'une fille.
Les hypothèses sont : PG(f) = 1/10 PF(g) = 1/20 P(G) = P(F) = 1/2.
On veut Pf(F).
On sait que Pf(F) = P(f et F) / P(f).
Il nous faut donc P(f et F) = PF(f) * P(F)
Comme PF(g) = 1/20 on a PF(f) = 1 - 1/20 = 19/20
Donc P(f et F) = 19/20 * 1/2 = 19/40
On a aussi P(f) = P(f et F) + P(f et G) = 19/40 + PG(f) * P(G) =
19/40 + 1/10 * 1/2 = 19/40+1/20= 21/40.
Finalement : Pf(F) = 19/40 divisé par 21/40 = 19/21.
A l'annonce d'une fille il y a une probabilité de 19/21 que ce soit vrai.
Il est sorti le premier jour.
Calculer la probabilité qu'il passe le quatrième jour dans son écurie.
Problème de la semaine passée.
Ne semble pas avoir eu beaucoup de succès...
Notons G l'évènement : le nouveau né est un garçon.
Notons F l'évènement : le nouveau né est une fille.
Notons g l'évènement : le docteur a annoncé la naissance d'un garçon.
Notons f l'évènement : le docteur a annoncé la naissance d'une fille.
Les hypothèses sont : PG(f) = 1/10 PF(g) = 1/20 P(G) = P(F) = 1/2.
On veut Pf(F).
On sait que Pf(F) = P(f et F) / P(f).
Il nous faut donc P(f et F) = PF(f) * P(F)
Comme PF(g) = 1/20 on a PF(f) = 1 - 1/20 = 19/20
Donc P(f et F) = 19/20 * 1/2 = 19/40
On a aussi P(f) = P(f et F) + P(f et G) = 19/40 + PG(f) * P(G) =
19/40 + 1/10 * 1/2 = 19/40+1/20= 21/40.
Finalement : Pf(F) = 19/40 divisé par 21/40 = 19/21.
A l'annonce d'une fille il y a une probabilité de 19/21 que ce soit vrai.
Samedi 22 mars 2008
Munissez vous d'un catalogue publicitaire comme ceux qui traînent dans nos boites à lettres à longueur d'année.
Bien, en voilà un au moins qui aura son utilité : il va vous faire découvrir que les premiers chiffres significatifs des nombres qui nous entourent dans la vie courante ne se répartissent pas de manière équiprobable. Bien au contraire , la répartition suit une loi de probabilité connue sous le nom de loi de Benford.
Je vais me faire un plaisir de vous expliquer tout ça.
Chiffre significatif ? Il faut imaginer le nombre écrit sous sa forme scientifique : le premier chiffre significatif est celui devant la virgule.
Pour 14,20 c'est 1; pour 254,85 c'est 2; pour 0,45 c'est 4.
Le premier chiffre significatif peut donc prendre les valeurs : 1,2,3,4,5,6,7,8 et 9.
Bon prenons notre catalogue, étudions la fréquence d'apparition du premier chiffre significatif des prix qui s'y trouvent. Vous vous attendez à une répartition à peu près équilibré ? Vous allez être surpris.
On voit très vite la prédominance du 1 appararaître, suivie par celle du 2, puis par celle du3, du 4, du 5, du 6, du 7, du 8 et le 9 pour finir. C'est fou, non ?
Mon étude statistique personnelle :
Sur 292 articles.
1 2 3 4 5 6 7 8 9
107 41 30 29 29 19 12 12 13
L'anomalie sur le 9 est tout à fait explicable : c'est la fluctuation d'échantillonage que vous avez découverte en seconde . Avec un catalogue, plus épais il aurait sans doute été possible de faire mieux...
L'idée m'est alors venue d'utiliser un tableur pour étudier les premiers chiffres des termes de suites mathématiques bien connues.
Celle des carrés parfaits pour commencer.
Pour les carrés de 1 à 3732 (choisi au hasard)
1 2 3 4 5 6 7 8 9
1045 735 581 493 250 178 161 152 137
Pour les inverses d'entiers entre 1 et 3732
1 2 3 4 5 6 7 8 9
882 687 692 515 291 205 173 154 133
Petite anomalie au niveau du 2 et du 3.
Pour la suite des factorielles d'entiers de 1 à 170.
1 2 3 4 5 6 7 8 9
54 29 22 12 12 10 6 14 11
Enfin la suite de Fibonacci : u0 = 1 u1 = 2 un+2 = un+1 + un. (de 1 à 1000)
1 2 3 4 5 6 7 8 9
283 167 117 91 74 64 54 50 42
Pour cette dernière la décroissance est manifeste !
C'est à partir de travaux de ce genre (20 000 observations !) que Franck Benford , physicien Américain émet l'hypothèse que la probabilité que le premier chiffre significatif soit n est égale à : log10(1 + 1/n). Vous remarquerez la démarche expérimentale qui n'est pas trop fréquente en mathématiques, mais Benford est un physicien...
Voilà une belle occasion d'illustrer ce que nous venons de voir cette semaine.
Appelons X la variable aléatoire égale au premier chiffre significatif.
La loi de probabilité de Benford donne donc : P(X = n) = log (1 + 1/n). (il s'agit du logarithme décimal).
Commençons par vérifier que nous avons bien défini une loi de probabilité.
pour n entier compris entre 1 et 9, 1 + 1/n est compris entre 1 et 10 donc son logarithme décimal est bien entre 0 et 1.
On peut écrire log (1 + 1/n) = log [(n+1)/n] = log (n+1) - log n
Sommons les 9 probabilités et vérifions que la somme est 1.
log2 - log1 + log3 - log2 + log4 - log3 +... + log 9 - log 8 + log 10 - log 9 = log 10 - log 1 = 1
Dresssons maintenant un tableau de ces 9 probabilités.
Ce sont bien entendu des valeurs théoriques, mais si vous les comparez avec les fréquences des séries observées au dessus, le rapprochement est parfois saisissant (suite de Fibonacci par exemple).
Cette loi a trouvé une application dans la lutte contre la fraude fiscale : un comptable peu scrupuleux, qui falsifie un livre de compte oublie (ou ignore...) le respect de la loi de Benford. Une analyse statistique des premiers chiffres significatifs fera apparaître une anomalie et donc une fraude probable. Joli, vous ne trouvez pas ?
Maintenant il faut aussi être conscient que certaines séries échappent totalement à la loi de Benford.
Si je relève le poids des 600 élèves du lycée, peu de chance de voir apparaître une prédominance du 1...
Bien, en voilà un au moins qui aura son utilité : il va vous faire découvrir que les premiers chiffres significatifs des nombres qui nous entourent dans la vie courante ne se répartissent pas de manière équiprobable. Bien au contraire , la répartition suit une loi de probabilité connue sous le nom de loi de Benford.
Je vais me faire un plaisir de vous expliquer tout ça.
Chiffre significatif ? Il faut imaginer le nombre écrit sous sa forme scientifique : le premier chiffre significatif est celui devant la virgule.
Pour 14,20 c'est 1; pour 254,85 c'est 2; pour 0,45 c'est 4.
Le premier chiffre significatif peut donc prendre les valeurs : 1,2,3,4,5,6,7,8 et 9.
Bon prenons notre catalogue, étudions la fréquence d'apparition du premier chiffre significatif des prix qui s'y trouvent. Vous vous attendez à une répartition à peu près équilibré ? Vous allez être surpris.
On voit très vite la prédominance du 1 appararaître, suivie par celle du 2, puis par celle du3, du 4, du 5, du 6, du 7, du 8 et le 9 pour finir. C'est fou, non ?
Mon étude statistique personnelle :
Sur 292 articles.
1 2 3 4 5 6 7 8 9
107 41 30 29 29 19 12 12 13
L'anomalie sur le 9 est tout à fait explicable : c'est la fluctuation d'échantillonage que vous avez découverte en seconde . Avec un catalogue, plus épais il aurait sans doute été possible de faire mieux...
L'idée m'est alors venue d'utiliser un tableur pour étudier les premiers chiffres des termes de suites mathématiques bien connues.
Celle des carrés parfaits pour commencer.
Pour les carrés de 1 à 3732 (choisi au hasard)
1 2 3 4 5 6 7 8 9
1045 735 581 493 250 178 161 152 137
Pour les inverses d'entiers entre 1 et 3732
1 2 3 4 5 6 7 8 9
882 687 692 515 291 205 173 154 133
Petite anomalie au niveau du 2 et du 3.
Pour la suite des factorielles d'entiers de 1 à 170.
1 2 3 4 5 6 7 8 9
54 29 22 12 12 10 6 14 11
Enfin la suite de Fibonacci : u0 = 1 u1 = 2 un+2 = un+1 + un. (de 1 à 1000)
1 2 3 4 5 6 7 8 9
283 167 117 91 74 64 54 50 42
Pour cette dernière la décroissance est manifeste !
C'est à partir de travaux de ce genre (20 000 observations !) que Franck Benford , physicien Américain émet l'hypothèse que la probabilité que le premier chiffre significatif soit n est égale à : log10(1 + 1/n). Vous remarquerez la démarche expérimentale qui n'est pas trop fréquente en mathématiques, mais Benford est un physicien...
Voilà une belle occasion d'illustrer ce que nous venons de voir cette semaine.
Appelons X la variable aléatoire égale au premier chiffre significatif.
La loi de probabilité de Benford donne donc : P(X = n) = log (1 + 1/n). (il s'agit du logarithme décimal).
Commençons par vérifier que nous avons bien défini une loi de probabilité.
pour n entier compris entre 1 et 9, 1 + 1/n est compris entre 1 et 10 donc son logarithme décimal est bien entre 0 et 1.
On peut écrire log (1 + 1/n) = log [(n+1)/n] = log (n+1) - log n
Sommons les 9 probabilités et vérifions que la somme est 1.
log2 - log1 + log3 - log2 + log4 - log3 +... + log 9 - log 8 + log 10 - log 9 = log 10 - log 1 = 1
Dresssons maintenant un tableau de ces 9 probabilités.
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1 |
2 |
3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
| 0,301 | 0,176 | 0,125 | 0,097 | 0,079 | 0,067 | 0,058 | 0,051 | 0,046 |
Ce sont bien entendu des valeurs théoriques, mais si vous les comparez avec les fréquences des séries observées au dessus, le rapprochement est parfois saisissant (suite de Fibonacci par exemple).
Cette loi a trouvé une application dans la lutte contre la fraude fiscale : un comptable peu scrupuleux, qui falsifie un livre de compte oublie (ou ignore...) le respect de la loi de Benford. Une analyse statistique des premiers chiffres significatifs fera apparaître une anomalie et donc une fraude probable. Joli, vous ne trouvez pas ?
Maintenant il faut aussi être conscient que certaines séries échappent totalement à la loi de Benford.
Si je relève le poids des 600 élèves du lycée, peu de chance de voir apparaître une prédominance du 1...
Mercredi 19 mars 2008
15 jours sans spécialité, vous serez d'accord, c'est trop !
Voici quelques exercices que vous pouvez faire dans la quinzaine :
Annales : exercice 2 page 28 (dans le 3) la question d'orthogonalité peut être traîtée avantageusement par le produit scalaire).
exercice 2 page 48
exercice 2 page 72
Je viens de faire le tour des exercices qui sont tombés l'an passé : c'est essentiellement du travail dans C.
Pourtant on peut faire des exos bien plus sympas avec les similitudes . Patience...
Voici quelques exercices que vous pouvez faire dans la quinzaine :
Annales : exercice 2 page 28 (dans le 3) la question d'orthogonalité peut être traîtée avantageusement par le produit scalaire).
exercice 2 page 48
exercice 2 page 72
Je viens de faire le tour des exercices qui sont tombés l'an passé : c'est essentiellement du travail dans C.
Pourtant on peut faire des exos bien plus sympas avec les similitudes . Patience...
Mercredi 19 mars 2008
Qu'est ce qu' un homme complexe dit à une femme réelle ?
Réponse : " Viens danser."
Réponse : " Viens danser."
par ANDRE
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Mercredi 19 mars 2008
En ce temps là, l'échographie n'existait pas. Le Docteur Untel prévoyait le sexe des enfants à naître.
Il se trompait une fois sur dix si c'était un garçon et une fois sur vingt si c'était une fille.
Quand il annonçait à une femme qu'elle attendait une fille, quelle était la probabilité que ce soit vrai ?
On fera l'hypothèse qu'il naît autant de garçons que de filles.
Le problème de la semaine passée :
Choisissons nos inconnus : G le nombre de garçons candidats, g le nombre de garçons reçus, F le nombre de fillles candidates, f le nombre de filles reçues.
On a donc : (g + f ) / (G + F) = 85/100
g / G = 82 / 100 = 41 / 50 puis en égalisant les produits en croix : 50 * g = 41 * G
f / F = 95 / 100
On nous dit que g est compris entre 1110 et 1180. Et la division de 50 * g par 41 doit tomber juste et donner G.
Pour cela, il faut que g soit un multiple de 41.
Pour les spémaths, ils verront là (je l'espère...) une application du théorème de Gauss : 41 divise 50 * g avec 41 et 50 premier entre eux donc 41 divise g.
Bien, on continue. 1110 = 41 * 27 + 3 donc 1110 + 38 = 1148 est multiple de 41. Le multiple suivant est 1148 +41= 1189 qui sort de la fourchette. On a donc déjà g = 1148. Et aussi G = (50 * 1148) / 41 = 1400
Revenons aux pourcentages du début : g + f = 85%(G + F) = 82% G + 95% F. On multiplie par 100 et il vient :85 (G + F) = 82 G + 95 F soit après simplification : 3 G = 10 F. On en déduit F = (3 * 1400) / 10 = 420.
Et le nombre de lauréats est donc : 85%(1400 + 420) = 1547
Il se trompait une fois sur dix si c'était un garçon et une fois sur vingt si c'était une fille.
Quand il annonçait à une femme qu'elle attendait une fille, quelle était la probabilité que ce soit vrai ?
On fera l'hypothèse qu'il naît autant de garçons que de filles.
Le problème de la semaine passée :
Choisissons nos inconnus : G le nombre de garçons candidats, g le nombre de garçons reçus, F le nombre de fillles candidates, f le nombre de filles reçues.
On a donc : (g + f ) / (G + F) = 85/100
g / G = 82 / 100 = 41 / 50 puis en égalisant les produits en croix : 50 * g = 41 * G
f / F = 95 / 100
On nous dit que g est compris entre 1110 et 1180. Et la division de 50 * g par 41 doit tomber juste et donner G.
Pour cela, il faut que g soit un multiple de 41.
Pour les spémaths, ils verront là (je l'espère...) une application du théorème de Gauss : 41 divise 50 * g avec 41 et 50 premier entre eux donc 41 divise g.
Bien, on continue. 1110 = 41 * 27 + 3 donc 1110 + 38 = 1148 est multiple de 41. Le multiple suivant est 1148 +41= 1189 qui sort de la fourchette. On a donc déjà g = 1148. Et aussi G = (50 * 1148) / 41 = 1400
Revenons aux pourcentages du début : g + f = 85%(G + F) = 82% G + 95% F. On multiplie par 100 et il vient :85 (G + F) = 82 G + 95 F soit après simplification : 3 G = 10 F. On en déduit F = (3 * 1400) / 10 = 420.
Et le nombre de lauréats est donc : 85%(1400 + 420) = 1547