Lundi 19 mai 2008
Pour lundi 26/05
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exercice 96 page 232
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- : Faire des mathématiques autrement. Blog de Alain ANDRE, Professeur de Mathématiques au Lycée de l'Iroise à Brest
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Samedi 17 mai 2008
Il semble que les énigmes liés aux probabilités posent quelques problèmes...
Voici un petit coup de pouce.
Commencer par construire un arbre de probabilité rendant compte du jeu ; différence par rapport à d'habitude, la ramification est infinie : le jeu peut très bien ne jamais s'arrêter.(c'est aussi ce qui fait tout le charme de l'exercice...)
S'intéresser ensuite à la probabilité de gagner d'un des joueurs, A par exemple.
A peut gagner au premier jet avec une probabilité de ???
A peut gagner au troisième jet : pour cela il faut que : (écrire les conditions), d'où la probabilité ???(formule de proba conditionnelle)
A peut gagner au cinquième jet : pour cela il faut que....
Et on continue comme cela jusqu'à ce que l'on voit quelque chose apparaître...
Voici un petit coup de pouce.
Commencer par construire un arbre de probabilité rendant compte du jeu ; différence par rapport à d'habitude, la ramification est infinie : le jeu peut très bien ne jamais s'arrêter.(c'est aussi ce qui fait tout le charme de l'exercice...)
S'intéresser ensuite à la probabilité de gagner d'un des joueurs, A par exemple.
A peut gagner au premier jet avec une probabilité de ???
A peut gagner au troisième jet : pour cela il faut que : (écrire les conditions), d'où la probabilité ???(formule de proba conditionnelle)
A peut gagner au cinquième jet : pour cela il faut que....
Et on continue comme cela jusqu'à ce que l'on voit quelque chose apparaître...
Mercredi 14 mai 2008
On va rester dans le domaine des probabilités.
Deux joueurs A et B jouent au dé.
A commence : s'il fait 1 ou 2, il gagne.
Sinon, B joue : s'il fait 3,4 ou 5, B gagne.
Sinon A rejoue et gagne selon les mêmes conditions qu'au départ.
et on continue comme celà, jusqu'à ce qu'un des deux joueurs gagnent.
Calculer les probabilités de gagner pour chacun des deux joueurs.
La semaine passée : les solutions proposées m'ont convaincu sauf pour la dernière preuve. Vous étiez tout proche de la solution mais ,il manquait un argument .
Comment donner un sens à la somme d'une infinité de termes ? Mieux que cela :
la somme d'une infinité de termes a-t-elle toujours un sens ?
Il n'est pas question d'apporter ici une réponse définitive. Ce sera une étude que vous ferez dans l'enseignement supèrieur. Cependant, on peut déjà apporter un début de réponse quand on somme les termes d'une suite géométrique. C'est le cas ici.
S = 1 - 1 + 1 - 1 + 1 -... est la somme des termes de la suite géométrique (-1)n.
Ecrivons Sn = 1 + q + q2 + q3 + ...+ qn = (1 - qn+1)/(1 - q).
Il est tentant de concevoir la somme infinie S = 1 + q + q2 + q3 + ... comme la limite de Sn quand n tend vers + inf.
Encore faut-il que cette limite existe ! C'est là que ça peut coincer...
Si -1 < q < 1, pas de souci : qn+1 tend vers 0 et Sn tend vers 1/1-q.
Dans tous les autres cas, Sn tend vers +inf ou n'a pas de limite et donc
S = 1 + q + q2 + q3 + ... n'a pas de sens.
En particulier 1 - 1 + 1 - 1 + ... n'a pas de sens car ici nous avions q = -1.
Le raisonnement est donc faux dès le départ.
Dans l'article sur la loi géométrique vous retrouvez ces notions.
Deux joueurs A et B jouent au dé.
A commence : s'il fait 1 ou 2, il gagne.
Sinon, B joue : s'il fait 3,4 ou 5, B gagne.
Sinon A rejoue et gagne selon les mêmes conditions qu'au départ.
et on continue comme celà, jusqu'à ce qu'un des deux joueurs gagnent.
Calculer les probabilités de gagner pour chacun des deux joueurs.
La semaine passée : les solutions proposées m'ont convaincu sauf pour la dernière preuve. Vous étiez tout proche de la solution mais ,il manquait un argument .
Comment donner un sens à la somme d'une infinité de termes ? Mieux que cela :
la somme d'une infinité de termes a-t-elle toujours un sens ?
Il n'est pas question d'apporter ici une réponse définitive. Ce sera une étude que vous ferez dans l'enseignement supèrieur. Cependant, on peut déjà apporter un début de réponse quand on somme les termes d'une suite géométrique. C'est le cas ici.
S = 1 - 1 + 1 - 1 + 1 -... est la somme des termes de la suite géométrique (-1)n.
Ecrivons Sn = 1 + q + q2 + q3 + ...+ qn = (1 - qn+1)/(1 - q).
Il est tentant de concevoir la somme infinie S = 1 + q + q2 + q3 + ... comme la limite de Sn quand n tend vers + inf.
Encore faut-il que cette limite existe ! C'est là que ça peut coincer...
Si -1 < q < 1, pas de souci : qn+1 tend vers 0 et Sn tend vers 1/1-q.
Dans tous les autres cas, Sn tend vers +inf ou n'a pas de limite et donc
S = 1 + q + q2 + q3 + ... n'a pas de sens.
En particulier 1 - 1 + 1 - 1 + ... n'a pas de sens car ici nous avions q = -1.
Le raisonnement est donc faux dès le départ.
Dans l'article sur la loi géométrique vous retrouvez ces notions.
Mercredi 14 mai 2008
La loi géométrique concerne le joueur obstiné qui tient le raisonnement suivant : " tant que
je perds, je joue."
Attitude assez classique du joueur.
L'article vous donnera une nouvelle approche du calcul des probabilités pour une variable aléatoire prenant cette fois une infinité de valeurs.
C'est une suite logique du cours de probabilité de TS, et une occasion de rencontrer à nouveau les suites géométriques, la somme de leurs premiers termes et leur limite.
Attitude assez classique du joueur.
L'article vous donnera une nouvelle approche du calcul des probabilités pour une variable aléatoire prenant cette fois une infinité de valeurs.
C'est une suite logique du cours de probabilité de TS, et une occasion de rencontrer à nouveau les suites géométriques, la somme de leurs premiers termes et leur limite.
Mercredi 14 mai 2008
Voici les sujets complets des épreuves de Bac 2007.
Vous reconnaîtrez (j'espère...), beaucoup d'exercices déjà traîtés en classe. Mais c'est intéressant de voir comment tout celà est couplé.
Attendre bien entendu avant de chercher les exercices de géométrie.
D'ici la fin de l'année je distribuerai des corrections.
Vous reconnaîtrez (j'espère...), beaucoup d'exercices déjà traîtés en classe. Mais c'est intéressant de voir comment tout celà est couplé.
Attendre bien entendu avant de chercher les exercices de géométrie.
D'ici la fin de l'année je distribuerai des corrections.
Vendredi 9 mai 2008
La parabole fait partie d'une famille de courbes appelées coniques. Leur étude se fait maintenant dans l'enseignement supérieur. Voici un site qui vous fait découvrir
les différents types de coniques et différentes approches possibles
Coniques
Coniques
Jeudi 8 mai 2008
Suite au TD de mercredi matin, voici quelques informations complémentaires sur les paraboles.
Je commence par définir géométriquement une parabole, j'introduis la notion de foyer et directrice.
Dans un deuxième temps je démontre une propriété géométrique à la base des applications concrètes des paraboloïdes.
Les techniques utilisées rentrent parfaitement dans le cadre du programme de terminale.
Bonne lecture.
Je commence par définir géométriquement une parabole, j'introduis la notion de foyer et directrice.
Dans un deuxième temps je démontre une propriété géométrique à la base des applications concrètes des paraboloïdes.
Les techniques utilisées rentrent parfaitement dans le cadre du programme de terminale.
Bonne lecture.
Mercredi 7 mai 2008
Je vous propose cette semaine quelques démonstrations de l'égalité :
1 = 2.
Première méthode :
-2 = -2
4 - 6 = 1 - 3
4 - 6 + 9/4 = 1 - 3 + 9/4
(2 - 3/2)² = (1 - 3/2)²
2 - 3/2 = 1 - 3/2
2 = 1
Deuxième méthode
Considérons deux nombres a et b.
Si a = 1 et b = 1 alors a = b
On a donc: a b = b² après multiplication par b
puis : ab - a² = b² - a² (on enlève a² aux deux membres)
On factorise : a (b - a) = (b - a) (b + a)
Simplifions par (b - a), il vient : a = b + a.
Remplaçons a et b par leurs valeurs : 1 = 1 + 1 = 2
troisième méthode (accessible aux TS seulement)
On part de l'égalité : -1/1 = 1/-1 que l'on transforme en : i²/1 = 1/i².
On prend les racines : i/1 = 1/i d'où l'on tire après multiplication par 1/2
i/2 = 1/2i
On ajoute 3/2i
i/2 + 3/2i = 1/2i + 3/2i.
Multiplions par i : i(i/2 + 3/2i) = i(1/2i + 3/2i)
On distribue : i²/2 + 3/2 = 1/2 + 3/2
On remplace i² par -1 et -1/2 + 3/2 = 4/2 = 2 ou encore 1 = 2
quatrième méthode
Soit S = 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + 1 -...
Groupons les termes 2 par 2
S = (1 - 1) + (1 - 1) + (1 - 1) + ... = 0 + 0 + 0 + 0 + ... = 0
Isolons le premier 1 et groupons les suivants 2 par 2 :
S = 1 + (- 1 + 1) + (- 1 + 1) + (-1 + 1) + ... = 1 + 0 + 0 + 0 + ... = 1.
En prime nous avons droit au joli résultat 0 = 1. Ajoutons 1 et il vient :
1 = 2.
Une petite récurrence nous montrerait sans problème que tous les entiers naturels sont égaux...
énigme de la semaine passée : je ne vous ferai pas l'affront de donner la réponse...
1 = 2.
Première méthode :
-2 = -2
4 - 6 = 1 - 3
4 - 6 + 9/4 = 1 - 3 + 9/4
(2 - 3/2)² = (1 - 3/2)²
2 - 3/2 = 1 - 3/2
2 = 1
Deuxième méthode
Considérons deux nombres a et b.
Si a = 1 et b = 1 alors a = b
On a donc: a b = b² après multiplication par b
puis : ab - a² = b² - a² (on enlève a² aux deux membres)
On factorise : a (b - a) = (b - a) (b + a)
Simplifions par (b - a), il vient : a = b + a.
Remplaçons a et b par leurs valeurs : 1 = 1 + 1 = 2
troisième méthode (accessible aux TS seulement)
On part de l'égalité : -1/1 = 1/-1 que l'on transforme en : i²/1 = 1/i².
On prend les racines : i/1 = 1/i d'où l'on tire après multiplication par 1/2
i/2 = 1/2i
On ajoute 3/2i
i/2 + 3/2i = 1/2i + 3/2i.
Multiplions par i : i(i/2 + 3/2i) = i(1/2i + 3/2i)
On distribue : i²/2 + 3/2 = 1/2 + 3/2
On remplace i² par -1 et -1/2 + 3/2 = 4/2 = 2 ou encore 1 = 2
quatrième méthode
Soit S = 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + 1 -...
Groupons les termes 2 par 2
S = (1 - 1) + (1 - 1) + (1 - 1) + ... = 0 + 0 + 0 + 0 + ... = 0
Isolons le premier 1 et groupons les suivants 2 par 2 :
S = 1 + (- 1 + 1) + (- 1 + 1) + (-1 + 1) + ... = 1 + 0 + 0 + 0 + ... = 1.
En prime nous avons droit au joli résultat 0 = 1. Ajoutons 1 et il vient :
1 = 2.
Une petite récurrence nous montrerait sans problème que tous les entiers naturels sont égaux...
énigme de la semaine passée : je ne vous ferai pas l'affront de donner la réponse...
par ANDRE
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se distraire avec les maths
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Mardi 6 mai 2008
Voici la troisième fiche de revision sur le thème des équations
différentielles.
Inutile de vous dire que la première chose à faire est de relire le cours !
Les exercices sont rangés par ordre de difficultés croissantes.
Inutile de vous dire que la première chose à faire est de relire le cours !
Les exercices sont rangés par ordre de difficultés croissantes.
Mardi 29 avril 2008
Cette semaine, attention, l'énigme est d'une grande difficulté...
4 stylos coûtent 2,42 euros.
Combien coûtent 14 stylos ?
Vous avez trouvé ? Bravo !
Maintenant je vous invite à regarder la vidéo suivante.
L'ignorance de notre ministre est stupéfiante, mais heureusement que la journaliste a sa petite fiche avec la solution...
Au fait, comment se fait-il que le prix d'un stylo ne s'exprime pas en un nombre entier de centimes d'euros ? Que veut-on tester, les capacités de raisonnement du ministre ou ses capacités en calcul mental ?
"4 stylos à 2,40 euros" aurait fait aussi bien l'affaire et était plus réaliste.
4 stylos coûtent 2,42 euros.
Combien coûtent 14 stylos ?
Vous avez trouvé ? Bravo !
Maintenant je vous invite à regarder la vidéo suivante.
L'ignorance de notre ministre est stupéfiante, mais heureusement que la journaliste a sa petite fiche avec la solution...
Au fait, comment se fait-il que le prix d'un stylo ne s'exprime pas en un nombre entier de centimes d'euros ? Que veut-on tester, les capacités de raisonnement du ministre ou ses capacités en calcul mental ?
"4 stylos à 2,40 euros" aurait fait aussi bien l'affaire et était plus réaliste.
par ANDRE
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