mathiroise

Pour achever le cours sur la continuité, voici une petite application fantaisiste du théorème des valeurs intermédiaires :

A l'instant où vous lirez ces lignes, il y a au moins deux points de l'équateur diamétralement opposés où il y a la même température.
Surprenant vous ne trouvez pas ? Vous devez vous demander quel lien il peut bien y avoir entre le théorème des valeurs intermédiaires et la température sur l'équateur...

Ce n'est pas si compliqué.

Déjà on peut se mettre d'accord sur le fait que si vous vous déplacez pas à pas sur la ligne de l'équateur la température évoluera de façon continue : peu de chance d'avoir un "saut " brutal de température.
Voilà dejà la continuité qui fait son apparition, c'est un bon début...

Considérons maintenant la fonction T qui à un point de l'équateur associe la différence de température entre ce point et le point qui lui est diamétralement opposé. Nous voilà avec une fonction qui sera continue d'après la remarque précédente.
Prenons un point A de l'équateur au hasard. De deux choses l'une :
Soit au point B diamétralement opposé à A, la température est la même qu'en A et dans ce cas notre point A est un point qui répond au problème posé.
Soit la température y est différente. Supposons la inférieure par exemple. Dans ce cas T (A) a un signe strictement positif.
Plaçons nous en B : T(B) = - T(A) donc T(B) est négatif strictement.
Je pense que vous avez deviné la suite :
Appliquons notre théorème des valeurs intermédiaires : il y a obligatoirement quelque part entre A et B un point M de l'équateur où on aura T (M) = 0. Mais cela signifie que en M et au point qui lui est diamétralement opposé les températures sont identiques.
Maintenant si vous supposez la température en B supérieure à celle de A, le raisonnement s'adapte sans problème.


Voilà, c'est prouvé !

Voici un joli théorème de géométrie du plan qui a la particularité de s'expliquer en se plongeant  dans l'espace.

Considérons deux triangles ABC et A'B'C' tels que (AA'), (BB'), (CC') soient concourantes en un point que nous noterons  S.
Alors les points X intersection de (AB) et (A'B')
                             Y intersection de (BC) et (B'C')
                             Z intersection de (CA) et (C'A')

sont alignés.               

Voir la première figure au dessus                                            


Démontrons le :
Faisons un peu le ménage dans les tracés : voyons dans SABC la représentation en perspective cavalière d'un tétraèdre ( Figure en dessous, désolé pour certains traits qui auraient du figurer en pointillés).

Considérons 3 points A', B' et C' placés sur les arêtes respectives (SA) , (SB) et (SC).
Considérons le plan (A'B'C') et intéressons nous à l'intersection de ce plan et du plan (ABC). On sait que c'est une droite  que je note (D).

(A'B')  et  (AB) sont contenues dans la face (SAB). Elles se coupent en X qui est donc  un point de (D).
(B'C') et (BC) sont contenues dans la face (SBC). Elles se coupent en Y qui est donc un point de (D).
(C'A') et (CA) sont contenues dans la face (SCA). Elles se coupent en Z qui est donc un point de (D).
Et voilà mes 3 points alignés sur (D), tracée en rouge.

C'est joli, vous ne trouvez pas ?





     

Nous allons regarder d'un peu plus près la fonction définie de la façon suivante. :
Si x  est non nul, f (x) = sin (1/x) et on posera f (0) = 0.

Utilisez votre calculatrice pour faire apparaître la représentation graphique sur [0,2 ; 10].
remarque : vérifiez que vous êtes bien en radian
                      prendre les Y entre -1 et 1(normal pour un sinus...)
Rien d'extraordinaire pour l'instant. On devine que l'axe des abscisses est asymptote au voisinage de +infini.
Normal : on pose X = 1/x et je vous laisse vous entraîner à montrer que la limite en + infini de f (x) est 0.
Vous avez réussi ? Parfait , on continue.

Maintenant changeons la fenêtre graphique et prenons x dans [0,1 ; 1]. Prenons 0,1 en échelle pour les x.
        ça commence à osciller un peu plus.
Prenons x dans [0,05 ; 1] : là, ça oscille sèrieusement...
Aller, prenons x dans [0,01 ; 0,5}    ça devient un peu brouillon...
Et dans [0,001 ; 0,5],         là on n'y voit plus rien !

Pourquoi nous nous contenterions des x positifs ?
Prenons x dans [-0,5 ; 0,5]
Et dans [-0,1 ; 0,1] ?
Et dans [-0,01 ; 0,01] ?

Bref autour de 0 vous aurez compris qu'il se passe des choses curieuses.
Essayons de comprendre :
Si x tend vers 0 en restant positif alors 1/x tend vers + infini. Cela explique que le sinus oscille continuellement entre -1 et 1. Nous avons la même chose en considérant les x négatifs.
Dit autrement :sur  tout intervalle contenant 0, aussi petit soit-il, la fonction atteindra toute les valeurs comprises entre -1 et 1 sans se rapprocher d'une valeur particulière. Elle n'a donc pas de limite en 0 et elle n'est donc pas continue en 0.
Nous avons donc ici une discontinuité d'un type différent du type "saut"  vu en classe.


  tracé sur [-1 ; 1]

Dans  cette rubrique géométrie je vais vous faire découvrir quelques jolis résultats et figures de géométrie.
Les démonstrations dépassent le plus souvent le cadre des programmes de lycée mais de temps en temps on essaiera tout de même de se lancer dans quelques preuves...
Pour commencer je vais vous parler du théorème de Pascal, du moins une version allégée.



 ABCDEF est un hexagone inscrit dans un cercle.
 Les côtés opposés (AB) et  (DE)  se coupent en U                              VOIR
Les côtés opposés (BC) et  (EF)  se coupent en V
Les côtés opposés (CD) et  (FA)  se coupent en W

Alors les 3 points U, V et W sont alignés.                                            


Mieux, la réciproque est encore vraie : Si les trois points sont alignés alors l'hexagone est inscriptible dans un cercle.

Nous avons donc une condition nécessaire et suffisante pour qu'un hexagone soit inscriptible dans un cercle.

Encore mieux ! Le résultat est encore vrai si vous remplacer le cercle par une ellipse.
Toujours mieux ! Le résultat est encore vrai si vous remplacer le cercle par une hyperbole ou une parabole.

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